MODELOS LINEALES Y CUADRÁTICOS

A. MODELOS LINEALES: 

 Es un función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una linea recta. 

      Esta función se puede escribir como:

                                          f(x) = mx + b

                              Donde:

                                          " m" y "b": Son constantes reales

                                                   "x" : Es una variable real

                                                  "m" : Es la pendiente de la recta

                                                   "b" :  Es el punto de corte de la recta con el eje y

      Esta función se puede escribir como:

                                          f(x) = mx + b

                              Donde:

                                          " m" y "b": Son constantes reales

                                                   "x" : Es una variable real

                                                  "m" : Es la pendiente de la recta

                                                   "b" :  Es el punto de corte de la recta con el eje y

   Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea      se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

    GRÁFICA:

    Utilidades del Modelo Lineal:

    1. Verificar la existencia de la relación lineal.
    2. Estimar (contrastar) la (una) relación lineal concreta (estructural).- supone actuar sobre los coeficientes           de la relación lineal.
    3. Predecir la variable y en función de x o (x₁x₂ ... x_k )

     Ejemplo: 

     Una población tiene 20000 habitantes, si el ritmo de crecimiento ha sido el 5% ¿Cuál era su población hace        un año?

     

     Solución :

                   LA VARIABLE: Una variable natural aquí es p = tamaño de la población hace un año

                  EXPRESIONES QUE  DEBEN SER IGUALES: Población actual  = 20000

                  ESCRIBIR LAS  EXPRESIONES EN  TÉRMINOS DE LA VARIABLE:

                 Ahora debemos expresar la población actual en términos de p. 

                 Aquí usamos el hecho que p ha aumentado en 5% de p es 0.05p, así que la población actual es:

                 p+0.05p                                      

        

                 ESCRIBIR LA ECUACION EN TERMINOS DE LA VARIABLE:

                 Ahora planteamos la ecuación p+0.05p = 20000 

                RESOLVER LA ECUACION 

                 1.05p = 20000
                        p = 20000 = 19048 habitantes
                        

               RESPUESTA VERBAL: El tamaño de la población era aproximadamente de 19048 habitantes hace un                 año.

B. MODELOS CUADRÁTICOS

      Son aquellos modelos matemáticos que comúnmente son representados bajo la utilización de una ecuación  de segundo grado. Por otro lado también consideramos como modelos cuadráticos aquellos problemas cuya representación requiere una aproximación en condiciones a una función cuadrática.

       Es una función definida por:

                                                                     Con .

 Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

Definición

     EJEMPLO:

 Un carpintero puede construir libreros a un costo de 40 mil soles cada uno. Si el carpintero vende los libreros a X miles de pesos la unidad, se ha estimado que 300-2x libreros pueden ser vendidos  mensualmente.

      (a) Exprese la ganancia mensual por el trabajo del carpintero como una función de x

      (b) Utilice la función del inciso (a) para determinar la ganancia mensual si el precio de venta es de 110  mil soles por librero.

      (c) Trace la función del inciso (a) y estime el precio de venta por cada librero que dará la mayor ganancia mensual.

          SOLUCIÓN 

         

          Sea
                    x : precio de venta de cada librero, en miles de pesos
               C (x): costo, en función de x
               U(x) : ganancia, en función de x
        

        Donde :

                          U(x) = I(x) – C(X) ………….. (1)                          

        Ahora:

            300-2x : número de libreros que pueden ser vendidos (y producidos) mensualmente; así que:

                          I(x) = (300-2x)x = 300x-2x² ……….. (2)
                         C(x) = 40(300-2x) = 1200-80x ……..(3)

            (a)   aplicando (2) y (3) en (1)

                         U(x) = 300x-2x²-(1200-80x)
                         U(x) = 300x-2x²-12000+80x
                         U(x) = -2x²+380-12000

           (b)         U(110) = -2(110)²+380(110)-12000
                         U(110) = -24200+41800-12000
                         U(110) = 5600

          (c) y (d)           

                        U(x) = -2x²+380x-12000
                        

                         a = -2 : la parábola abre hacia abajo
                         b = 380
                         c = -12000 : corte con el eje y
                          -  b   =   380  =  95 ;    abscisa del vértice
                                   2a       4

        Cada librero se debe vender a 95000 para obtener la mayor ganancia
                     U(95) = -2(95)²+380(95)-12000
                     U(95) = -18050+36100-12000
     

       Entonces:   U(95) = 6050 : ordenada del vértice
       

       La mayor ganancia que puede obtener el carpintero en su empresa es de 6050 soles mensuales
         

                  -2x²+380x-12000 = 0      --->      x²-190x+6000 = 0
                     (x-40)(x-150) = 0
                      x = 40    ^    x = 150

     VÍDEO DE LA ENTREVISTA

https://www.youtube.com/watch?v=ggbK8n1T59Q&feature=youtu.be

       CONCLUSIONES

• Muñoz Romero Jorge: Las ecuaciones lineales y cuadráticas nos sirven para determinar una situación o algún movimiento de alguna variable en la economía ya sea el PBI, exportaciones, importaciones, consumo interno o la famosa ley de la oferta y la demanda.Estos modelos lineales y cuadráticos nos ayudan a determinar en un tiempo una situación que dependa  de otras variables para poder determinar su proyección hacia el futuro.

• Ponce Gil Andres: Las ecuaciones matemáticas constituyen la base fundamental para el cálculo y la determinación de valores.
  En términos contables nos permite determinar el costo de producción, el precio de venta que le podemos dar a nuestro producto partiendo desde el margen de utilidad esperado.
  En economía estas formulas permiten determinar los diversos fenómenos que se dan en un país, podemos mencionar: la oferta, la demanda, el crecimiento o disminución del PBI, entre otros.
  La obtención de estos valores a su vez  es necesaria para tomar una decisión que beneficie frente a la situación en que nos encontramos.

• Riveros Reyes Dayner : Según observo las funciones lineales se enfocan en la economía en la oferta y demanda que dependen de factores (ingresos, productos sustitutos, productos complementarios, etc.)   En el caso de las ecuaciones cuadráticas se utiliza en PBI, balanza comercial) .

• Rosas Araujo Santos: las ecuaciones son herramientas fundamentales sobre el cual se  rige el mundo empresarial para una buena toma de decisiones.

• Valle Quezada Gloria : Los modelos lineales se pueden observar en la microeconomía, específicamente en la oferta y demanda de bienes y servicios que se ofrece en un mercado especifico. También en  la macro economía (de un país) en relación a los salarios y/o ingresos de cada individuo utilizando la oferta y demanda agregada respectivamente
  En los modelos cuadráticos se observa en los ciclos económicos de un estado como por ejemplo el análisis del P.B.I de los diferentes años, siguiendo su grafica curvas cíclicas suaves de un año a otro.

• Villarreal Rios Diana : Después de conocer de forma teórica la definición de modelos lineales y cuadráticos, puedo concluir  que ambos modelos se emplean en diferentes situaciones tanto macroeconómicas y microeconómicas de nuestro entorno ,por citar un ejemplo en el modelo lineal de evidencia en la ley de la demanda y la oferta de un bien o servicio, puesto que en dicha situación encontramos 2 variables  como es precio y la cantidad donde la segunda depende de la primera que al momento de darle valores y graficar los resultados esta será una recta. Mientras que los modelos cuadráticos se puede apreciar en los cálculos que realiza un ingeniero para realizar una determinada construcción, ya que en dicho cálculo interviene  más de una variable,siendo su gráfica una parábola.

       EQUIPO DE TRABAJO

                                                                
                                                                 Muñoz Romero Jorge

                                                                 Ponce Gil Andres

                                                                Riveros Reyes Dayner

                                                                Rosas Araujo Santos

                                                                 Valle Quezada Gloria

Villarreal Rios Diana